BİR, ÇOK VE SONSUZLUK
Ahmet Ayhan Çitil*
Bir ile çok veya birlik ile çokluk arasındaki bağıntının mahiyeti tarih boyunca düşünürleri meşgul etmiş olan çetin sorular içerir. Bunlar öyle sorulardır ki, akıl bunları cevaplamaksızın huzur bulamaz. Ancak aklın tam olarak bunların içinden çıkabilecek bir ehliyete sahip olup olmadığı da ayrı bir tartışma konusudur. Üstelik bu sorular insanın kendisini ve tecrübesini anlaması ve anlamlandırması bakımından temel bir başka kavramı, sonsuzluk kavramını işin içine karıştırmadan ele alınabilir görünmemektedir. Hissetme yoluyla farkına vardığımız çokluk ve çeşitlilik ile söz konusu bu gerçekliğin farkına varanın basit birliği nasıl ilişkilenmektedir? Bilincin bu basit birliği yahut bu birliğin zemininde her ne yer alıyorsa “o” varlıksal olarak temel kabul edilebilir mi? Çok çeşitli unsurları, özellikleri veya değişim içerisinde yer alan farklı safhaları içeren bir nesne nasıl olup da kendisiyle aynı ve basit bir birliği haizmişçesine düşünceye konu edilebilmektedir? Nesnelerin kendisiyle aynılığının ve birliğinin zemininde her ne yer alıyorsa “o” varlıksal olarak temel kabul edilebilir mi? Hissetme yoluyla farkına vardığımız nesnelerin çokluğunun mekânı olarak uzay ve zaman, içinden geçilerek tüketilemeyecek bir çokluğu içeriyor görünmektedir. Bu itibarla uzay ve zamanın içerdiği yan yanalığa veya art ardalığa tabi çokluğun fiilen sonsuz olduğunu öne sürebilir miyiz? Aynı çokluğu bölerek en küçük parçasına ulaşamadığımız da aşikâr görünmektedir. Öyleyse tanelerden (atomlardan) oluştuğunu düşündüğümüz fiziksel gerçekliğin çokluğu ile sonsuz bölünebilir olduğunu düşündüğümüz mekân arasındaki bağıntıyı nasıl ele alabiliriz? Bu soruları çoğaltmak mümkündür. Belki de düşünce tarihi bu sorulara verilen cevapların ve bu cevaplara yöneltilen eleştirilerin bir silsilesi olarak kaleme alınabilir. Bu yazının amacı ne bu soruların olabildiğince tam bir dökümünü vermek ne de bu sorulara önerilen cevapları tartışmaya açmaktır. Yazımızda, günümüzde bu sorulara yönelen bir düşünürün, mantık, matematiksel mantık, hesap kuramı, küme kuramı (…) gibi alanlarda matematikçilerin elde ettiği bazı önemli sonuçları dikkate almaksızın bir -çok- sonsuzluk bağıntılarını ne ölçüde tartışılabileceğini sorgulamaya çalışıyoruz. Bu sorgulamaya zemin teşkil etmek üzere ilk olarak bir ile çok arasındaki bağıntının ele alınması ile sonsuzluk sorununun nasıl ilişkilendiğini ele alıyoruz. Daha sonra metafiziksel ve matematiksel bakımdan sonsuzluğun ele alınış biçimlerini ayırt ediyoruz. Metafiziğin elenmesi sürecinden söz edeceğiz. Özellikle küme kuramında elde edilen bazı sonuçları ve bu sonuçların ontoloji tartışmaları için anlamını kısaca sunuyoruz.
Felsefe tarihinde bir ile sonsuzun bağıntısının kurulduğu temel metin Platon’un Sofist diyaloğudur. Platon bu diyaloğunda varlık üzerine düşünebilmenin ve konuşabilmenin temel ilkesi olarak çelişmezlik ilkesini ifade etmiştir. Platon’a göre herhangi bir şeyden belirlenmiş olarak söz edebilmenin yolu, onu kendisiyle aynı ve kendisi olmayandan başka olarak düşünmekten geçer. Bir başka ifadeyle tüm cinslerin (genos) etrafı sonsuz (apeiron; indefinite, belirsiz) cinsle çevrilidir; her bir düşünülür kendisi ile aynı, kendisi olmayandan ise başka düşünülür. Dolayısıyla, bir düşünme fiili dâhilinde her “-dır”, olanaklı sonsuz yüklemden birisinin bir varlığa yüklenmesi, söz konusu yüklemden başka olanların ise yüklemlenememesini belirtir. “A, B’dir.” önermesinin ifade ettiği yargı, her zaman “A, B’dir ve B-olmayan değildir.” önermesinin ifade ettiği yargıyı içerir. Bu itibarla herhangi bir şey ancak sonsuz (belirsiz) olarak düşünülen çokluktan ayrılmakla varlık kazanır. Bu düşünüş tarzında sonsuzluk kendisine herhangi bir düşünülürün (varlığın) eklenip çıkarılamayacağı, mutlak bir varlık olarak karşımıza çıkmaktadır. Söz konusu bu sonsuzluk ile herhangi bir (sonlu) var olanın bağıntısı ise metafiziğin asli sorunsalını oluşturur.
Öte yandan sonsuzluğun (sonsuz çokluğun) yegâne düşünülme biçimi mutlaklık değildir. Özellikle Aristoteles’in Fizik ve Metafizik adlı eserlerinde zaman ve matematik söz konusu olduğunda bölme ve ekleme yoluyla içinden geçilerek tüketilemeyen bir başka sonsuz anlayışı karşımıza çıkmaktadır. Bilindiği gibi Aristoteles, bu biçimde anlaşılan sonsuzluğa fiilî bir varlık (energeia) atfedilemeyeceğini, ancak onun kuvve hâlinde (dynamis) var olmasından söz edilebileceğini belirtmiştir. Sonuç olarak tamamlanmışlık içeren mutlaklık ile tamamlanamazlık içeren bir sınırsızlık anlayışı iki farklı sonsuzluk anlayışı olarak karşımıza çıkmıştır.
Bu karşıtlığın yeni bir düzeye taşınması bakımından önemli bir dönüm noktası Cusanus’un (Cusalı Nicholas’ın) Öğrenilmiş Cehalet Üzerine (De Docta Ignorantia) adlı eserinde karşımıza çıkmaktadır. Bu eserinde Cusanus, Tanrı’nın (varlığın) sonsuz (infinitum) olduğunu, aklın sonsuzu tam olarak kavrayamadığını, bu itibarla da Tanrı’nın sonsuzluğunun düşünülmesinin aklın sınırlarının ötesine geçmeyi, bu itibarla da bir tür bilememe durumunu (cehaleti) gerektirdiğini ifade etmektedir. Cusanus’a göre Tanrı sonsuzdur. Asıl sorun sonsuzun nasıl düşünceye pozitif olarak konu edileceğidir. Cusanus’a göre sonsuzluk, karşıtların karşıtlıklarının ortadan kalktığı bir sınır üzerinden düşünülebilir. Tanrı karşıtların çakışmasıdır (coincidentia oppositorum). Cusanus bu düşüncesini açıklayabilmek üzere eğri ve doğru karşıtlarını örnek olarak verir. Bir çembere ait herhangi bir yay parçası eğridir. Çemberin çapını büyüttüğümüzde ve bunu sonsuza kadar yaptığımızı düşündüğümüzde her bir yay bir doğru parçasına dönüşecektir. Sonsuz büyüklükte bir çemberde eğri ile doğru bir olacaktır. Bu düşünüş biçimine göre karşıtlıklar Tanrı’da (sonsuzda) bir arada vardırlar. Sonsuz varlık bir yandan her şeydir ama öte yandan bunların hiçbirisi değildir.
Cusanus bu fikirleri ile bir tür sudur (emanation) kuramı ortaya koymaktadır. Evren ve evrendeki sonlu varlıklar, sonsuz varlığın daralmasının (contractio dei) bir sonucu olarak var olurlar. Bu kuramı ilginç kılan yanlardan birisi sonsuzun pozitif olarak düşünülebilmesinin bir yolunu açmış olmasıdır. Cusanus daha sonra hesap biliminin (calculus, kalkülüs) gelişimine ilham verecek biçimde “maksimum”, “minimum” gibi terimleri de bugün bilinen anlamlarına uygun biçimde kullanan ilk felsefecidir. Ayrıca evrenin sonsuzun ilk daralması olarak düşünüldüğünde sonlu olamayacağını, bu itibarla da sınırsız (interminatum) olması gerektiği düşüncesini de ortaya atmıştır.
Sonsuzluğun mutlak varlık olarak Tanrı, sınırsızlığın ise evren ile ilişkilendirildiği bu düşünüş biçimi modern doğa anlayışının ve matematik yoluyla doğanın biliminin yapılabilmesinin de düşünsel arka planını oluşturmuştur. Evrenin ve evrende içerilen çokluğun matematik yoluyla düşünebilmesi, söz konusu düşünsel çabanın bilimlerin gelişimi bakımından çok başarılı olması, metafiziksel varlığın (Tanrı’nın) ise matematik yoluyla ele alınamaması, modern felsefenin gelişim süreci içerisinde metafiziksel olana ilişkin düşünmenin felsefi söylemden elenmesi ile nihayetlenmiştir. Bilindiği gibi Alman felsefecisi Kant, Saf Aklın Eleştirisi (Kritik der reinen Vernunft) adlı eserinde kendinde olan ile görünen (tezahür eden) arasında kökten bir ayrıma giderek, kendinde olanın bilinemeyeceğini iddia ederek ve bilinebilir olanı tezahür edenle sınırlayarak bir, çok ve sonsuzluk arasındaki bağıntıların ele alındığı çağdaş tartışmaların çerçevesini belirlemiştir. Kant’ın düşüncesine göre mutlak olan (sonsuzluk) ile tecrübe edilen çokluk arasındaki bağıntının düşünülmesine ilişkin metafiziksel çaba çelişkilerle ve yanılsamalarla nihayetlenmektedir. İnsan aklının çelişkilere düşmeksizin düşünebileceği çokluk insan bilincinin faaliyeti dâhilinde ve matematik yoluyla inşa edilebilen ile sınırlıdır. Bir başka deyişle akıl sahibi bir varlık olarak insan bilme ufkunu matematiksel olarak inşa edebileceği nesnelerle ve bu nesneleri kullanarak gerçekleştireceği bilimsel faaliyetin sonuçları ile sınırlamak durumundadır. Bu itibarla da matematiğin temel uygulama alanı doğa bilimleri ve özellikle de fizik olmaktadır. Sonuç olarak Kant’ın bir, çok ve sonsuzluk arasındaki bağıntılara ilişkin tartışmaya en önemli katkısının odak noktasını metafiziksel olandan matematiksel sonsuzluğa çekmesi olduğunu öne sürebiliriz.
19. yüzyıldan itibaren gerek mantık, gerekse matematik alanlarında (Euklidesçi olmayan geometrilerin bulunmasından, kalkülüsün aritmetikselleştirilmesine, Frege’nin aritmetiği mantığa indirgeme projesi dâhilinde niceleme mantığını kurmasından hesap kuramının gelişimine…) Kant’ın öngörmediği pek çok gelişme yaşanmıştır. Bu gelişmeler, matematiğin gelişimine zemin hazırladığı ölçüde, Kant’ın da öngördüğü biçimiyle, ampirik bilimlerin serpilmesiyle nihayetlenmiştir. Ancak bu gelişmeler bir, çok ve sonsuzluk ile ilgili konular başta olmak üzere pek çok konunun metafiziksel bir açıdan ele alınmasına da zemin hazırlamıştır. Bir bakıma, mantığın matematikselleşmesi ve matematiksel mantıkta elde edilen önemli sonuçlar bir, çok ve sonsuzluk ile ilgili olarak yürütülen metafiziksel tartışmalarda yeni ufuklar açmıştır. Bu açılımlarla ilgili olarak neyi kastettiğimizi örneklemek üzere Alman matematikçi ve felsefeci Georg Cantor’un elde ettiği bazı sonuçlara kısaca değinmek istiyoruz.
Cantor sonsuz kümelerin büyüklüklerini (güçlerini) kümelerin birebir eşlenebilirlik kavramı üzerinden ele almıştır. Doğal sayılar, oransal sayılar veya tek doğal sayılar gibi kümelerin elemanlarının birebir eşlenebilir olduklarını ve bu itibarla da eşsayılı olduklarını göstermiştir. Bu gruba giren sonsuz kümeler sayılabilir anlamda sonsuzdur (denumerably infinite). Cantor daha sonra gerçel sayılar kümesinin sayılabilir sonsuz kümelerle birebir eşlenebilmesinin mümkün olmadığını, bir bakıma gerçel sayıların büyüklüğünün (sonsuz sayalının; infinite cardinal) sayılabilir sonsuz kümelerin büyüklüğünden daha büyük olduğunu göstermiştir. Cantor’un bu kanıtlaması köşegen kanıtlaması olarak anılmaktadır. Kanıtlamayı burada kısaca ifade edelim.
Cantor öncelikle gerçel sayılar kümesinin herhangi bir sonlu aralığının gerçel sayılar kümesi ile eşsayılı olduğunu ispatlamıştır. Örneğin 0 ile 1 arasındaki gerçel sayılar ile gerçel sayılar kümesinin elemanları birebir eşlenebilmektedir. Şimdi 0 ile 1 arasındaki tüm gerçel sayıların bir listeye yazılabildiğini varsayalım. Eğer böyle bir liste yapılabilirse, listenin ilk sırasındaki gerçel sayı ilk doğal sayıya (1’e), ikinci gerçel sayı ikiye ve sıraya tüm gerçel sayılar doğal sayılara birebir eşlenebilir. Bu durumda sıfır ile birin sınırlarında yer aldığı kapalı aralıkta yer alan tüm gerçel sayılar doğal sayılarla birebir eşlenebilmiş olur. Gerçel sayıların her bir kapalı aralığı ise (yine Cantor’un gösterdiği gibi) tüm gerçel sayılara birebir eşlenebilmektedir. Dolayısıyla, böyle bir liste yapılabilirse doğal sayılar kümesi ile gerçel sayılar kümesi eşsayılı olurlar. Cantor böyle bir listenin yapılamayacağını göstermiştir. Listenin ilk sırasında yer alan sayının noktadan sonra yer alan ilk ondalık rakamını, ikinci sırada yer alan sayının noktadan iki sonra yer alan ondalık rakamını ve böylece listede yer alan sayıların ondalık kısmının köşegenini (yani 0, a11, a22, a33, … rakamlarının dizisini) dikkate alalım. (Bkz. Şekil 1.)
0. 0 0 0 0 0 …
0. a11 a12 a13 a14 a15 …
0. a21 a22 a23 a24 a25 …
0. a31 a32 a33 a34 a35 …
0. a41 a42 a43 a44 a45 …
0. a51 a52 a53 a54 a55 …
…
1. 0 0 0 0 0 …
Şekil 1.
Köşegeni oluşturan dizideki her bir rakamı bir başkasıyla (örneğin 0’ı 1 ile, 1’i 2 ile, …, 9’u 0 ile) değiştirdiğimizi düşünelim. Bu durumda ondalık kısmı 0 ile 1 arasında bulunan bir gerçel sayı elde etmiş oluruz. Fakat bu gerçel sayı en başta yaptığımız listenin içerisinde yer alamaz. Çünkü noktadan sonraki birinci ondalık rakamı itibarıyla ilk sayıdan, ikinci ondalık rakamı itibarıyla ikinci sayıdan, (…), n’nci ondalık rakamı itibarıyla da n’nci sayıdan farklıdır. Sonuç olarak, en başta 0 ile 1 arasındaki sayıları içeren bir liste oluşturduğumuzu varsaymamıza rağmen listede olmayan bir sayı bulmuş ve bir çelişkiyle karşılaşmış bulunuyoruz. Bu da böyle bir listenin oluşturulamayacağını ve dolayısıyla gerçel sayılar ile doğal sayıların birebir eşlenemeyeceğini gösterir.
Üstelik, bir kümenin altkümelerinin tamamını içeren bir kümenin (güç kümesinin) sayalının söz konusu kümenin sayalından daha büyük olduğu da gösterilebildiğinden sonsuz kümelerin büyüklük (sayal sayı; cardinal number) bakımından sonsuz bir hiyerarşisinin bulunduğu öne sürülebilir hâle gelmiştir.
Cantor’un farklı sonsuzluk düzeyleri arasında yaptığı bu ayrım felsefe tarihi boyunca nedeni anlaşılamayan çoklukla ve hareketle ilgili bazı paradokslara yeni bir bakış açısı getirmiştir. Gerçel sayılar kümesi ile sayılabilir anlamda sonsuz kümelerin büyüklükleri arasındaki bu farkı dikkate alırsak, harekete ilişkin Zeno paradokslarının zemininde paradokslarda ifade edilen problemlerin (örneğin Achilles ile kaplumbağa arasındaki yarışın) sayılabilir anlamda sonsuz bir artalanda dile getirildikleri, oysa çözümün sayılabilir anlamda sonsuz olmayan bir artalanda bulunabileceği iddia edilebilmektedir.
Cantor sonlu ötesi küme kuramını geliştirdiğinde ve sayılabilir ile sayılamaz sonsuz (indenumerably infinite) kümelerin sayallarını ayırt ettiğinde, küme kavramı ile ilgili soruların tam olarak cevaplanabilmesinin belirli bir sorunun nihai olarak yanıtlanabilmesine bağlı olduğunu düşünmüştür. Bu soru sayalı, sayılabilir sonsuz bir küme ile gerçel sayılar kümesinin sayalı arasında olan bir başka sonsuz kümenin bulunup bulunmadığı sorusudur. Cantor böyle bir küme bulunmadığını düşünmüş ve bu varsayımını ispatlamaya çalışmıştır. Literatürde Cantor’un bu varsayımı Sürey Varsayımı (SV; continuum hypothesis) olarak anılmaktadır. Cantor kariyeri süresince bu soruyla uğraşsa da aradığı ispatı verememiştir.
Söz konusu varsayımın ispatlanabilmesi için çok sayıda matematikçi çaba göstermiştir. 1940 tarihli çalışmasında Kurt Gödel seçim aksiyomunu içeren Zermelo-Fraenkel küme kuramında (ZFC) Sürey Varsayımı’nın değilinin ispatının verilemeyeceğini göstermiştir. Gödel bu ispatında inşa edilebilir kümelerden (constuctible sets) yararlanmıştır. 1963 yılında ise Paul J. Cohen seçim aksiyomunu içeren Von Neumann-Bernays-Gödel küme kuramında (NBG) SV’nin bir ispatının verilemeyeceğini ortaya koymuştur. Bu sonuç Zermelo-Fraenkel küme kuramında da geçerlidir, çünkü ZFC’nin dilinde yer alan her bir ifade, NBG’de ancak ve ancak ZFC’de ispatlanabilir ise ispatlanabilirdir. Bu tarihten itibaren SV’nin klasik küme kuramının sınırları içerisinde ne kendisinin ne de değillemesinin ispatlanabilir olduğu kabul edilmiştir. Cohen söz konusu ispatı verirken ZFC’nin aksiyomlarını sağlayan, ancak SV’yi sağlamayan bir model inşa etmiş ve bu itibarla da SV’nin ZFC’nin aksiyomlarından bağımsız olduğunu göstermiştir. Ancak SV’nin ZFC veya NBG’nin yeni aksiyom ya da aksiyomlarla genişletilmesiyle ispatlanıp ispatlanamayacağı bilinmemektedir. Bir başka deyişle, soru hâlen cevaplandırılmaya açıktır.
Söz konusu bu soru sadece sonsuzluk kavramımızın mahiyetinin anlaşılması bakımından değil, insan aklının bir ile çok ilişkisi bakımından neyi bilip neyi bilemeyeceği (veya neyi ispatlayıp neyi ispatlayamayacağı) bakımından da büyük önem taşımaktadır. Küme kuramı bir bakıma terimler (veya kavramlar) ile kaplamları arasındaki bağıntının kesinlikle ifade edildiği ve insan düşüncesinin sınırlarının araştırıldığı bir mekân olarak alındığında Sürey Varsayımı’nın mevcut küme kuramının sınırları dâhilinde saptanamaz (undecidable) oluşu felsefenin çıkış noktalarından birisi olan merak ve hayret duygularını tetiklemektedir.
Cantor’un elde ettiği sonuçlardan hareketle küme kuramını dikkatli bir gözle ele aldığımızda ise küme kuramının unsurlarını oluşturan kümelerin kuruluşları ile ilgili bazı önemli tespitler yapmak durumunda kalırız. Burada kendimizi eğer iyi-tanımlı (well-founded) kümeler ile sınırlarsak tüm kümelerin kuruluşunda boş kümenin bulunduğunu, boş kümenin ise çelişik bir kavramın kaplamı ile belirlendiğini görürüz. Dolayısıyla, herhangi bir kümenin var olması, kaplamında herhangi bir eleman var olmayan bir kümenin varlığına bağlıdır. Var var-olmayana, varlık hiçliğe dayandırılarak anlam kazanıyor görünmektedir. Herhangi bir şeyden “bir” olarak söz etmek istediğimizde de “bir”in boş-kümeyi içeren küme tarafından tanımlandığını görürüz. Bir de bir olmayana dayanmakta, bir bir-olmayanın bir kabul edilmesi üzerinden varlık kazanmaktadır. Dolayısıyla, sadece “bir”in değil, diğer tüm sayıların da varlıkları kendileri olmayana bağımlı olmaktadır.
İyi-tanımlı kümelerin kuruluşunu bir kenara bırakıp kurulan kümelerin sıral (ordinal) hiyerarşisine baktığımızda da sonsuza giden ve birbirine indirgenemeyen sonsuzlukların bir hiyerarşisiyle karşılaşırız. Cantor’un köşegen kanıtlaması bize sonsuzların hiyerarşik olarak sıralandığı ve sonu olmayan bir varlık düzeni sunmaktadır. Bu itibarla matematiğin sınırları içerisinde sonsuzluğun tamamlanmış bir bütün olarak düşünülebilmesi ve kendisine mutlaklık atfedilebilmesi mümkün görünmemektedir.
Küme kuramı ile ilgili olarak yaptığımız bu tespitler, bazı felsefecilerin küme kuramının günümüzdeki ontoloji (varlıkbilim) tartışmalarının zeminini teşkil ettiği yönündeki iddiaları dikkate alınırsa konumuz bakımından daha da ilginç bir hâl almaktadır. Eğer gerçekliği ve gerçeklikte içerilen çokluğu düşünüş biçimimiz küme kuramı tarafından belirlenmekte ise bir, çok ve sonsuzluk arasındaki bağıntıların tartışılması, özelde küme kuramından, genelde de mantık ve matematikte elde edilen sonuçlardan habersiz olarak tartışılabilir mi? Bu soruya ağız dolusu bir “evet” cevabını verebilmek oldukça güç görünmektedir.
* İstanbul 29 Mayıs Üniversitesi Felsefe Bölümü. Yazarın Matematik ve Metafizik: Sayı ve Nesne isimli çok önemli bir eseri vardır.
